Momentos SIAD: Equações Boleanas

Proposição

Todas as proposições são frases mas nem todas as frases são proposições, ou seja, uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V).

Exemplos:

Frases que não são proposições

Pare!
Quer beber um café?
Não tenho a certeza se esta é a cor que quero

Frases que são proposições

A lua é o único satélite natural do planeta terra (V)
A cidade de Barcelona é a capital de Espanha (F)
O número 712 é ímpar (F)
Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)

Composição de Proposições

É possível construir proposições a partir de outras proposições já existentes.

A = "Raquel tem 23 anos"
B = "Raquel é menor"

Como em Portugal 18 anos é a emancipação (ou aos 16 anos em casos especiais), faz com que a proposição B seja Falsa, na interpretação da proposição A ser Verdadeira.

"Raquel não tem 23 anos" (nãoA) (negação),
"Raquel tem 23 anos" e"Raquel é menor" (A e B) (conjunção),
"Raquel tem 23 anos" ou"Raquel é menor" (A ou B) (disjunção),
Se "Raquel tem 23 anos" então "Raquel é menor" (A => B) (implicação)
"Raquel tem 18 anos" é equivalente a "Raquel não é menor" (C <=> não(B)) (equivalência)

Algumas Leis Fundamentais

Uma proposição é falsa (F) ou é verdadeira (V): não existe meio termo.
Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F.
O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pelos valores lógicos das suas proposições constituintes.

Tabela-Verdade

A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições.

Variável Lógica (Booleana)

Considere a proposição

A = "Raquel tem 23 anos"
A proposição "Raquel tem 23 anos" é representada pelo símbolo A, que pode assumir dois valores lógicos: F ou V.

A variável booleana, A pode também ser designada por variável lógica.

Função de Variáveis Lógicas (Booleanas)

Dada uma variável lógica, é possível construir uma função desta variável, f(A),

Exemplo

f(A) = A'

isto é, a função da variável lógica A representa simplesmente a sua negação.

Quando se tem apenas 1 variável, é possível construir 4 funções, onde a primeira é a própria negação e a segunda é a função identidade.

Para duas ou mais variáveis, o número possível de funções que podem ser construidas, é de 2^(2*n), onde n é o número de variáveis.

Para duas variáveis, 2^(2*2) = 16 possibilidades.

Teoremas da Álgebra de Boole

Uma função combinatória pode ser escrita de várias maneiras, sem ser alterada, fazendo-se uso dos Teoremas da Álgebra de Boole. Por exemplo,

(A . B)' = A' + B'

onde, como visto, os símbolos "'" e "+" representam a negação (NOT) e a disjunção (OR), respectivamente. Aqui usou-se um dos teoremas conhecidos como Leis de De Morgan. Os principais teoremas da Álgebra Booleana são,

Diagramas lógicos

NOT

AND

NAND

Entre outros como:

NOR; XOR; XNOR; AND or INVERT (AOI)

A importância destes diagramas lógicos está no facto de representarem os elementos básicos de construção da maioria dos circuitos integrados.

Exemplo prático: Função Alarme

Considerar um sistema de segurança de uma loja.

Existe um sensor de contacto que, ligado (V ou 1), indica que a porta está fechada;

Outro sensor infravermelho que, ligado, indica que não há movimento no interior da loja.

O alarme é acionado quando um dos dois sensores é desligado.

A = "sensor de contacto"
B = "sensor infravermelho"

A tabela-verdade para esta função alarme, f(A,B), é dada por onde 0 e 1 significam desligado e ligado, respectivamente.